límites funciones varias variables


2.1 Cálculo y existencia de límite de una función de varias variables
MUY IMPORTANTE   si existe el límite de una función de varias variables este es único

Calcular los siguientes límites
a) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(-1,3)}}{\frac{2x-y}{x^2+y^2}}$


b) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(1,1)}}{\frac{x+y}{2x+y}}$

c) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{(x+y)sen\left(\frac{\pi }{x+y}\right)}$


d) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{(x^2)cos\left(\frac{2x+y }{x}\right)}$



2.2 caso (0/0)  en el que podemos factorizar
a)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{x^2-y^2}{x+y}}$

b)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{4x^2-y^2}{2x-y}}$


c)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{3x+2y}{9x^2-4y^2}}$


d)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{x+y}{x^2+2xy+y^2}}$


2.3 caso (0/0) Para este caso debemos realizar una serie de pasos para demostrar la No existencia del límite o la existencia del límite y su valor. Nos vamos a basar en la propiedad de que si existe el límite este debe de ser único .

2.3.1 limites reiterados o sucesivos en funciones de varias variables

\\si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\left(\displaystyle\lim_{y \to{b}{}}{f(x,y)}\right)\neq\displaystyle\lim_{y \to{b}}{\left(\displaystyle\lim_{x \to{a}{}}{f(x,y)}\right)$ $\Longrightarrow{}$ no existe el limite
\\
\\
\\
\\Si $\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\left(\displaystyle\lim_{y \to{b}{}}{f(x,y)}\right)=\displaystyle\lim_{y \to{b}}{\left(\displaystyle\lim_{x \to{a}{}}{f(x,y)}\right)=L$ $\Longrightarrow{}$ puede existir el limite y en caso de existir valdria L

Ejemplo1 Calcular los límites reiterados o sucesivos de los siguientes límites y decir si No existe el límite o si puede existir el límite

a)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{xy}{x^2+y^2}}$



b)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$


2.3.2 limites radiales o direccionales en funciones de varias variables Si la solución de algún límite radial o direccional depende de m , entonces no existirá el límite
Ejemplo 1
Calcula los siguientes límites radiales o direccionales mediante el cambio y= mx de las siguientes funciones de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si puede existir el límite .

a)$f(x,y)=\frac{3x^2y}{x^2+y^2}$


b)$f(x,y)=\frac{2xy}{2x^2+y^2}$

Ejemplo 2
Calcula los siguientes límites radiales o direccionales mediante el cambio y= mx  e y=mx2 de las siguientes funciones de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si puede existir el límite .
a)$f(x,y)=\frac{2y^2-x^4}{x^4+y^2}$

Ejemplo 3
Calcula los siguientes límites radiales o direccionales mediante el cambio  e x=my2 de las siguientes funciones de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si puede existir el límite .
a)$f(x,y)=\frac{2y^2x}{y^4+2x^2}$


Ejemplo 4
Demostrar que no existe el siguiente límite

a)$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\frac{3xy}{x^2+2y^2}}$


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